Lý thuyết tổng hợp chương Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng

A. Tóm tắt lý thuyết

** NGUYÊN HÀM

1. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

* Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu ∫f(u)du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

∫f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0) thì ta có ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C

* Phương pháp nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và y = y(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) – ∫u'(x)v(x)dx

Hay ∫udv = uv – ∫vdu

** TÍCH PHÂN

1. Tính chất của tích phân

2. Một số phương pháp tính tích phân

Dạng 1: Tính tích phân theo công thức

Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân

Sử dụng tính chất để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Dạng 3: Phương pháp đổi biến số

* Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và α ≤ u(x) ≤ β. Giả sử có thể viết f(x) = g(u(x))u'(x), x ∈ [a; b] với g liên tục trên đoạn [α; β]. Khi đó, ta có

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

* Đổi biến số dạng 2

Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α; β](*) sao cho φ(α) = a,φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α; β]. Khi đó:

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.

Định lí : Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì

hay viết gọn là . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính

Dạng hàm

P(x): Đa thức

Q(x): sin(kx) hay cos(kx)

P(x): Đa thức

Q(x): ekx

P(x): Đa thức

Q(x): ln(ax + b)

P(x): Đa thức

Q(x): 1/sin2x hay 1/cos2x

Cách đặt

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

* u = ln(ax + b)

* dv = P(x)dx

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

** ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

1. Diện tích hình phẳng

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định:

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định: :

Chú ý:

– Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

– Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

– Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), x = h(y) và hai đường thẳng y = c, y = d được xác định:

2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

a) Thể tích vật thể:

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b].

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định:

b) Thể tích khối tròn xoay:

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox:

Chú ý:

– Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy:

– Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Lý thuyết Nguyên hàm
• Lý thuyết Tích phân
• Lý thuyết Ứng dụng của tích phân trong hình học
• Lý thuyết Ôn tập chương 3

Mã giảm giá Shopee mới nhất Mã code

• XMen For Boss chỉ 60k/chai
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k